有关平面直角坐标系内点的变换常见题型解题技巧
首先讲下几个关于坐标系的知识点：
1、坐标轴与象限：坐标轴实际就是两个垂直的数轴（x轴与y轴），两个数轴的原点重合形成交点（垂足），由于数轴有正负，两个数轴的正负互相组合就形成了四个象限；
2、对称点性质：关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变符号；关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标变符号；关于原点对称，横竖坐标都变符号。
3、点到坐标轴的距离：到x轴的距离是纵坐标的绝对值；到y轴的距离是横坐标的绝对值；
4、坐标系内两点的中点公式：
这个公式十分重要，经常出现在考题中，不经常应用于求线段的中点来解决问题，还会以求一个点关于另一个点的对称点的形式出现。
现在咱们具几个例子来做做。
例题1：若点P(1-m,2+m)关于x轴对称的点的坐标在第一象限，则m的取值范围是 。
分析：求关于坐标轴的对称点，要清楚有一个坐标值是不变的，题目中求关于x轴的对称点，所以横坐标不变，纵坐标变符号。
解：P(1-m,2+m)关于x轴的对称点P′(1-m,-2-m)在第一象限
1-m＞0且-2-m＞0
得：m＜-2
例题2：若a＜0，点P(-a²-1,-a+3)关于原点的对称点为P1，则P1在（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
分析：关于原点对称，横竖坐标都需要变符号，然后判断横竖坐标的取值范围，来确定其象限。
解：点P(-a²-1,-a+3)关于原点的对称点为P1(a²+1,a-3)，a＜0
∴a²+1＞1，a-3＜-3，得出P1在第四象限，所以选择D
例题3：如图，在平面直角坐标系中，线段OA与线段OA′关于直线l：y=x对称。已知点A的坐标为（2，1），则点A′的坐标为 。
分析：OA与OA′关于l:y=x对称，说明他们与l的夹角相等，过A做x轴的垂线，过A′做y轴的垂线，这样就形成两个全等的直角三角形，可以通过对应边相等求出A′的坐标。
解：过A做x轴的垂线垂足为B，过A′做y轴的垂线垂足为C
∵OA与OA′关于l:y=x对称
∴OA=OA′，不难求出∠BOA=∠COA′
∴△BOA≌△COA′
∴BA=CA′，BO=CO
∴A′(1,2)
例题4：如图，已知点A（0，2）、B（2 ，2）、C（0，4），过点C向右做平行于x轴的射线，点P是射线上的动点，连接AP，以AP为边在左侧作等边△APQ，连接PB、BA。
(1)当AB∥PQ时，点P的横坐标是 ；
(2)当BP∥QA时，点P的横坐标是 。
分析：抓住平行线的性质，线平行就会有角相等（还有同旁内角和是180°），画图分析此题会变得十分简单。
解：（1）如图，求出CP的长即可
（2）两种情况如图，可以直接求出点P的横坐标
例题5：将矩形OABC如图放置，O为原点．若点A（﹣1，2），点B的纵坐标是7/2 ，则点C的坐标是 。
分析：看到特殊四边形求顶点，就要想到特殊四边形的对角线平分这个性质，绝大多数的此类问题需要通过中点公式来解决问题。题中的A、O都是已知的，B点的纵坐标已知，这样可以求出C的纵坐标，也就是以OC为斜边与x轴构成的直角三角形的一条直角边已知，而OA与x轴构成的三角形与其相似，所以可以利用三角形相似来求C的横坐标。
解：连接AC、OB交于点F，则在矩形OABC中，F平分AC和OB，过A做AD⊥x于D，C做CE⊥x，于E，如图：
设点F(x0,y0),C(x,y)，则：(7/2+0)/2=y0=(2+y)，得：y=3/2
∵△OAD∽△COE，∴OD/AD=CE/OE，得：OE=3，x=3
∴C(3,3/2)
通过以上例题，你是否对坐标系内点的变换掌握了呢？用小作业来试试吧。
1、如图，将一个正方形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，其中A（1，0），C（0，1），P为AB边上一个动点，折叠该纸片，使O点与P点重合，折痕l与OP交于点M，与 对角线AC交于Q点
（Ⅰ）若点P的坐标为（1，1/4），求点M的坐标；
（Ⅱ）若点P的坐标为（1，t）
①求点M的坐标（用含t的式子表示）（直接写出答案）
②求点Q的坐标（用含t的式子表示）（直接写出答案）
（Ⅲ）当点P在边AB上移动时，∠QOP的度数是否发生变化？如果你认为不发生变化，写出它的角度的大小．并说明理由；如果你认为发生变化，也说明理由。
2、如图，△ABC中，∠A=67.5°，BC=4，BE⊥CA于E，CF⊥AB于 F，D是BC的中点。以F为原点，FD所在直线为x轴构造平面直角坐标系，则点E的横坐标是？
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我们今天采用函数图象法秒解一道平面直角坐标系点坐标题目，例题本身比较简单，常规解法也不算太麻烦，因此秒解的意义只有一个，那就是“快！稳！”，题目如下：
无论m为何值，P（m-3，4-2m）不可能在第_________象限．
[常规思路解析]
①若点P在第一象限，则有m-3＞0 且 4-2m＞0，连立，m无解；
②若点P在第二象限，则有m-3＜0 且 4-m＞0，连立解得m＜3；
③若点P在第三象限，则有m-3＜0 且 4-2m＜0，连立解得2＜m＜3；
④若点P在第四象限，则有m-3＞0 且 4-2m＜0，连立解得m＞3；
∴无论m为何值，P（m-3，4-2m）不可能在第一象限。
没毛病，根据已知的坐标代数式，按照四个象限分情况讨论，连立解不等式组，即可得到正确答案。这也是我在网上找到的本题的唯一解法。But... ...对于本题，秒答君想说，换个思路，海阔天空，请看秒答解析。
[解析]
1. 有题可知，点P的横、纵坐标均为m的函数，如果我们连立两个函数式，则可以求得点P的纵横坐标之间的关系。
也就是说，设P点坐标为（x，y），由题意，有
x=m-3，y=4-2m，连立消m，可得
y=-2x-2。
2. 可见，无论m为何值，点P都要满足这个关系式。即点P一定在直线
y=-2x-2上，
这是一条斜率为负、截距为负的直线，过二、三、四象限。因此，点P不可能在第一象限。
本题采用函数图象法比常规解法简便、快速、直观，有且具有更广泛的适应性，比如将此题变形，问点P能否在平面坐标系某一区域内，前面常规解法就更加麻烦，而函数图象法同样适用。
本讲提示：函数图象法原理稍微有点绕，请仔细体会。
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函数图象法，秒解平面直角坐标系-点坐标题
我们今天采用函数图象法秒解一道平面直角坐标系点坐标题目，例题本身比较简单，常规解法也不算太麻烦，因此秒解的意义只有一个，那就是“快！稳！”，题目如下：
无论m为何值，P（m-3，4-2m）不可能在第_________象限。
题目
[常规思路解析]
①若点P在第一象限，则有m-3＞0 且 4-2m＞0，连立，m无解；
②若点P在第二象限，则有m-3＜0 且 4-m＞0，连立解得m＜3；
③若点P在第三象限，则有m-3＜0 且 4-2m＜0，连立解得2＜m＜3；
④若点P在第四象限，则有m-3＞0 且 4-2m＜0，连立解得m＞3；
∴无论m为何值，P（m-3，4-2m）不可能在第一象限。
[解析]
1. 由题可知，点P的横、纵坐标均为m的函数，如果我们连立两个函数式，则可以求得点P的纵横坐标之间的关系。
也就是说，设P点坐标为（x，y），由题意，有
x=m-3，y=4-2m，连立消m，可得 y=-2x-2。
2. 可见，无论m为何值，点P都要满足这个关系式。即点P一定在直线 y=-2x-2上，
这是一条斜率为负、截距为负的直线，过二、三、四象限。因此，点P不可能在第一象限。
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初中平面直角坐标系中点到直线的距离求解方法
问题引入：在平面直角坐标系中，已知直线的位置及任意点的坐标，在初中阶段没有学习点到直线的距离公式时，探究如何求点到直线的距离。
具体方法：
方法一：平行线
方法二：垂直交点法
方法三：面积法
方法四：相似法
作用：常见于二次函数综合题中，求抛物线或双曲线上的动点P到直线的最值问题.如图
小结：线在曲线外部时，动点到线AB的距离有最小值；面积最小.
小结：线在曲线内部时，动点在交点范围内运动到线AB的距离有最大值；面积最大.
例题：已知直线的解析式为y=2x+6,点P的坐标为（2，2），求点P到直线的距离.
方法一：平行线法
思想方法：通过作平行线构造直角三角形，利用解直角三角形求点到直线的距离。
①作平行线（求两平行线间的距离）
②解直角三角形
方法二：垂线交点法
思想方法：通过作垂线求交点坐标，利用两点间的距离公式。
方法三：面积法
思想方法：一般利用割补法（铅锤法常用）求△ABP的面积，再求出AB的长度，则AB边上的高PE可求.
方法四：相似法
